Добрый день.
В этой связи у меня вопрос к специалистам: могу ли я пройти мед. комиссию по-новой и добиться того, чтобы в военнике была проставлена категория "А"?
Теоретически можете. Только добиваться ее Вам следует в правоохранительных органах, а не в военкомате. Суть в том, что при приеме на работу в правоохранительных органах проводят свою медицинскую комиссию. Но не все до нее доходят, потому что людей "отсеивают" по категории годности, выставленной в военном билете. Попробуйте пообщаться, объяснить, что у Вас со здоровьем все хорошо. И желательно Вам иметь доказательства в виде заключений врачей, что Вы здоровы.
В военкомате Вас переосвидетельствовать в данном случае не обязаны. Предусмотрено переосвидетельствование для признанных ранее ограниченно годными (категория "В"), но не для имеющих категорию годности "Б-4":
84. Граждане, ранее признанные ограниченно годными к военной службе по состоянию здоровья, могут быть освидетельствованы повторно в случае, если в результате их обследования в медицинских организациях ранее установленный им диагноз заболевания изменен (пересмотрен) или они признаны здоровыми.