Можно ли оформить приписное со справкой об утрате паспорта
Нет. Вам следует восстановить паспорт.
И берут ли в армию с диагнозом Бронхиальная астма смешанной формы?
Астма является законным основанием для освобождения от службы в армии (категория "В" - ограниченно годен).
Освидетельствование при впервые выявленных признаках бронхиальной астмы проводится только после стационарного обследования. При наличии бронхиальной астмы, подтвержденной медицинскими документами о стационарном лечении и обращениях за медицинской помощью, заключение о категории годности к военной службе граждан, освидетельствуемых по графе I, а также граждан, проходящих военную службу по контракту и поступающих на военную службу по контракту, может быть вынесено без стационарного обследования.